Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

La solution de cette équation différentielle pour une option call européenne
avec un prix d’exercice K et un temps jusqu’à maturité T nécessite la défini-
tion des conditions aux bornes qui sont pour l’option call européenne:
C(T)= max(S(T)−K; 0 ) et C(0,t) = 0 et pour l’option put ces conditions de-
viennent: p(T) =max(K−S(T); 0 ) et p(∞,t) = 0. τ = T−t

C(t)= S(t)N(d 1 )−Ke−rτN(d 2 )

d 1 =

LnSK(t) +(r+0,5σ^2 )τ

σ τ

d 2 =

LnSK(t) +(r−0,5σ^2 )τ

σ τ

=d 1 −σ τ

Question : Quelle est la valeur critique à partir de laquelle l’option call arrive
à échéance in the money: soit ε cette valeur. On écrit : S(T)−K ≥ 0.

S(T)−K ≥ 0

S(T) =S(t)e(μ−

(^12) σ (^2) )(T−t)+σZ(T−t)
S(T) =S(t)e(μ−
(^12) σ (^2) )(T−t)+σε T−t
avec ε(t) ∼N( 0 , 1 )
On remplace S(T) par sa valeur:
S(t)e(μ−
(^12) σ (^2) )(T−t)+σε T−t
≥K
(μ−

1

2

σ^2 )(T−t)+σε T−t ≥ Ln K

S(t)

σε T−t ≥Ln

K

S(t)

−(μ−

1

2

σ^2 )(T−t)

ε ≥

LnSK(t) −(μ−^12 σ^2 )(T−t)

σ T−t

On multiplie les deux membres de l’inégalité par -1