Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

ε ≤

LnSK(t) +(μ−^12 σ^2 )(T−t)

σ T−t

Dans un monde risque neutre μ= r

On sait que:

d 2 =

LnSK(t) +(r −^12 σ^2 )(T−t)

σ T−t

d 2 =

Lne−rS((T−t)t)K

σ T−t

−

σ T−t

2

d 1 =d 2 +σ T−t

d 1 =

Lne−rS((T−t)t)K

σ T−t

+

σ T−t

2

d1,2=

Lne−rS(T(t−)t)K

σ T−t

± σ T−t

2

On en déduit que pour avoir à l’échéance une option call en dedans,
S(T)−K ≥ 0 , il faudra que ε ≤d 2. En effet S(T) ≥K implique que ε ≤d 2 Par
conséquent on peut écrire que:

P(S(T) >K)=P(ε <d 2 )=^1
2 π ∫

d 2

−∞

e−^12 ε^2 dε =N(d 2 )

L’espérance de S(T) avec S(T)≥ K doit être calculée sur tous les z entre −∞
et d 2.