Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

E[S(T)S(T)≥K]= ∫

d 2

−∞

S(T)^1

2 π

e−^12 ε^2 dε avec n(ε)=^1

2 π

e−^12 z^2 dε est la densité

de probabilité d’une loi normale centrée réduite.

E[S(T)S(T)≥K]= ∫

d 2

−∞

S(t)e(r−

(^12) σ (^2) )(T−t)+σε T−t 1
2 π
e−^12 ε^2 dε
E[S(T)S(T)≥K]= S(t)er(T−t)^1
2 π∫
d 2
−∞
e(−
(^12) σ (^2) )(T−t)+σε T−t− (^12) ε 2
dε
E[S(T)S(T)≥K]= S(t)er(T−t)^1
2 π∫
d 2
−∞
e−
(^12) (ε−σ T−t)^2
dε
E[S(T)S(T)≥K]= S(t)er(T−t)

1

2 π∫

d 2

−∞

e−

(^12) (ε−σ T−t)^2
dε
E[S(T)S(T)≥K]= S(t)er(T−t)
[

1 −^1

2 π ∫

−d 2

−∞

e−

(^12) (ε−σ T−t)^2
dε
]
On pose ξ =ε−σ T−t
E[S(T)S(T)≥K]= S(t)er(T−t) 1 −

1

2 π∫

−d 2 −σ T−t

−∞

e−^12 ξ^2 dξ

On note par d 1 =d 2 +σ T−t, on a alors

E[S(T)S(T)≥K]=S(t)er(T−t)
[

1 −^1

2 π ∫

−d 1

−∞

e−^12 ξ^2 dξ

]

=S(t)er(T−t)

[

1

2 π ∫

d 1

−∞

e−^12 ξ^2 dξ

]

Finalement,

E[S(T)S(T)≥K]= S(t)er(T−t)N(d 1 )