Brownien avec une volatilité journalière de 0,2617%. 1 an compte 365 jours
et trois mois représente 1/4 d’un an. Calculer le coût de l’option de vente :
Solution :
On suppose que le problème est résolu en utilisant les options sur le taux
de change yen Japonaise par dollar. c’est-à-dire qu’on utilise des options li-
bellées en yen, soit $ 1 =¥U(t) au temps t, U(t)=
1
X(t). La société américaine
redoute l’appréciation du dollar par rapport au yen c’est pourquoi elle
achète 1 billion unité d’options d’achat européennes avec une maturité
dans trois mois et un prix d’exercice de ¥ 120. Le payoff de l’option au temps
t =0,25 est ¥max[U(0,25)− 120 ; (^0) ], on applique la formule de Black et Scho-
les pour déterminer le prix en yen au temps t = 0. On prend les valeurs
r =0,015; δ =0,035; S=U( 0 ) = 120 ; K= 120 ; T =^1
4
; σ =0,05. Il faut divi-
ser ensuite ce prix par 120 pour avoir le prix de l’option en dollar au temps
t = 0. On vérifie qu’on obtient le même prix qu’auparavant par ce que d 1 ici
est est −d 2 précédemment.
Il y a un moyen plus simple pour la société américaine, au temps t = 0
elle emprunte ¥ 120 e−0,25r¥ billion et convertie immédiatement ce montant en
dollar. L’emprunt sera remboursé avec les intérêts au moment où le deal est
clôturé mais avec l’achat d’options la société américaine profitera même
quand le yen japonais s’apprécie en valeur par rapport au dollar.
On note par X(t) le taux de change du dollar par yen au temps t. Au
temps t on a: 1 ¥=$X(t). X( 0 ) =^1
120
. Au temps t =^1
4
la société américainerecevra la somme de ¥ 120 billions échangée contre
$
[
120 billion×X(^1
4 )]. La société américaine souhaite avoir: