Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

$max
[

1 billion; 120 billion×X(^1

4 )]

. Cci peut être décomposé comme

suit: $ 120 billion×X(

1

4 )

+$max

[

1 billion− 120 billion×X(

1

4 )

; 0

]

ou

$ 120 billion X(^1

4 )

+ max

[

120 −^1 −X(^1

4 )

; 0

]

On voit que ceci revient pour la société américaine à acheter 120 billion
unités d’un put dont le payoff dans trois mois serait égal à:

$max
[

120 −^1 −X(^1

4 )

; 0

]

.

Le taux de change est perçu comme le prix en dollar d’un actif négocia-
ble qui est dans ce cas le yen japonais. Le taux d’interêt composé en conti-
nu au Japan est interprété comme le dividende de cet actif δ. D’après le mo-
dèle de Garman et Kohlhagen:

r =0,035; δ =0,015; S=X( 0 ) =

1

120

; K=

1

120

; T =

1

4

Le logarithme du taux de change ¥ par $ suit un mouvement Brownien
arithmétique, son opposé le logarithme du taux de change $ par ¥ suit aussi
un mouvement Brownien arithmétique, tous les deux ont la même volatilité.
Par conséquent X(t) suit un mouvement géométrique Brownien, on peut
donc appliquer la formule de Black et Scholes pour les options put euro-

péennes. On calcule la volatilité annualisée, σ^1
365

=0,1217% d’ou

σ = 0,05.

d 1 =

(r −δ+

1

2 σ

2

)T

σ T

=d 1 =

(0,035−0,015+

1

2 0,05

2

)

1

4

0,05^14

= =0,2125