Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

d 2 =d 1 −σ T =0,2125−0,05^1

4

= 0,1875

Le prix de 120 billion unités d’une option put au temps t = 0 est égal à:

$ 120 billion×[Ke−rTN(−d 2 )−X( 0 )e−δTN(−d 1 )]

= $[e−rTN(−d 2 )−e−δTN(−d 1 )] billion, puisque K=X( 0 )=^1

120

= $[e−rT( 1 −N(d 2 ))−e−δT( 1 −N(d 1 ))] billion

N(d 1 )=N(0,21)= 0,5832; N(d 2 ) =N(0,19)= 0,5753;
e−rT =e−0,035×0,25=0,9963; e−δT =e−0,015×0,25=0,9963
Le coût des options pour la société américaine :
0,9963×0,4247−0,9963×0,4168 =$5,75millions
Exemple :
On considère l’achat d’une option call américaine sur une action qui ne
paie pas de dividende avec une maturité de trois mois et un prix d’exercice
41,5. Le prix courant de l’action est 40, la volatilité est 30% et le delta du
call est 0,5. Déterminer le prix courant de l’option call.

Solution:

Partant du fait qu’il n’est jamais intéressant d’exercer une option améri-

caine sur une action ne payant pas de dividende avant sa date

d’échéance, on peut appliquer directement la formule de Black et Scholes

pour évaluer les options call européennes:

C= SN(d 1 )−Ee−rτN(d 2 )

d 1 =

LogES +(r +0,5σ^2 )τ

σ τ