Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

portefeuille permet de recevoir 1 d dans la période future quelque soit l’état de la na-
ture qui va avoir lieu. Par conséquent le prix du portefeuille doit aussi être égal à la
valeur actuelle de 1 d qui est une valeur certaine mais ce 1 d est à recevoir dans la pé-
riode future. Il en résulte que le taux sans risque doit satisfaire la relation suivante au-
trement des opportunités d’arbitrage peuvent exister :

d 1 +d 2 +d 3 =^1
1 +rf

Cette relation doit toujours vérifiée même en l’absence de l’actif sans risque ou d’obli-
gation sans risque. Le taux sans risque apparaît comme étant implicite dans les prix
des titres risqués. On vérifie avec les données de l’exemple que :

0,05+0,57+0,3=

50

55

=0,909091 =

1

1 +rf

d’où, rf = 10 %

Un revenu contingent C =(C 1 ,C 2 ,C 3 ) peut être transformé aujourd’hui sur le mar-
ché par un revenu non contingent c’est-à-dire par un montant sûr, à recevoir dans la
période future. En effet, si on connaît aujourd’hui la valeur d’un actif ou son prix, on
pourra alors estimer quelle sera sa valeur dans la période future suivante. Ceci n’est
possible que si l’on arrive à connaitre le moyen judicieux qui permet de transformer
les revenus des actifs au cours du temps. Le revenu non contingent à recevoir dans la
période future suivante, étant donnée sa valeur actuelle, est simplement égal à sa va-
leur future :

C= ( 1 +rf)×(C 1 ×d 1 +C 2 ×d 2 +C 3 ×d 3 )

et comme 1 +rf =

1

d 1 +d 2 +d 3

on en déduit que :

C=

d 1 ×C 1

d 1 +d 2 +d 3

+

d 1 ×C 2

d 1 +d 2 +d 3

+

d 1 ×C 3

d 1 +d 2 +d 3

Le revenu contingent C= (C 1 ,C 2 ,C 3 ) qui sera reçu dans la période future, peut être
remplacé par un montant sûr qui lui aussi sera reçu dans la période future. Ceci re-