du processus décrivant la valeur du portefeuille Vt de couverture correspond
à :
Vt= mtSt+ntBt à la date t et
Vt+ 1 =mtSt+ 1 +ntBter(t+^1 −t) à la date t+ 1
La valeur du portefeuille change localement en passant d’un point du temps
à un autre :
e−r(t+^1 −t)Vt+ 1 =Vt
Vt+ 1 =mtSt+ 1 +ntBter(t+^1 −t)
e−r(t+^1 −t)(mtSt+ 1 +ntBter(t+^1 −t))−(mtSt+ntBt)= mt(e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St)
Ceci devrait en théorie être égal à la variation du prix de l’option pour le
même intervalle de temps :
e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 (St+ 1 )−Ct(St)
En théorie l’égalité n’est vérifiée que parce que le marché et arbitré et com-
plet alors que dans le réalité ce n’est pas le cas. Par conséquent, on a un ris-
que financier.
e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 (St+ 1 )−Ct(St)−mt(e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St)≠ 0
Le risque local se définit comme la variance de la variation de la position en-
tre les dates t et t+ 1 , une mesure neutre au risque :
Dt= EQ((e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 (St+ 1 )−Ct(St)−mt(e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St))
2
∣ ℑt)Dt=EQ((e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 −Ct(St))^2 − 2 mt(e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St)(e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 −Ct)+m^2 (e−r(t+^1 −t)St+ 1 −(St))^2 ∣ℑt)
On pose :