Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

B=(e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St)(e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 −Ct)

A=(e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St)^2

Dt= EQ((e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 −Ct)^2 − 2 mtB+mt^2 A∣ ℑt)

On prend la dérivée de cette fonction par rapport à mt :

∂Dt

∂mt

=− 2 B+ 2 mtA

Le minimum de cette fonction est donné pour :

− 2 B+ 2 mtA= 0

mt = B
A

Le minimum de la fonction Dt s’obtient pour une couverture mt :

mt =

EQ((e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St)(e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 −Ct))

EQ((e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St)^2 )

Le numérateur est une covariance et le numérateur est une espérance condi-
tionnelle par conséquent une solution numérique à ce problème présente
des difficultés, on utilise alors un modèle linéaire de la forme :

Y=α+mX+ε et la méthode de simulation Monte Carlo, avec :

Y=

e−r(t+^1 −t)C 1 + 1 −C 1

e−r(t+^1 −t)C 2 + 1 −C 2

⋮

e−r(t+^1 −t)Ct+ 1 −Ct