Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

X=

e−r(t+^1 −t)S 1 + 1 −S 1

e−r(t+^1 −t)S 2 + 1 −S 2

⋮

e−r(t+^1 −t)St+ 1 −St

Exemple :

Montrer que la valeur de l’option pour une volatilité de σ +Δσ avec Δσ une
variation infinitésimale de σ est approximativement égale à la valeur de l’op-
tion pour une volatilité σ plus υ fois la variation de la volatilité. Vérifier numéri-
quement le résultat trouvé pour les valeurs suivantes : σ = 15 %, S= 100 ,
K= 100 , T−t = 365 jours , r = 10 % , Δσ = 1 %.

Réponse :

Soit C(σ +Δσ) la valeur inconnue de l’option pour une volatilité σ +Δσ.

υ = ΔC
Δσ

ceci implique que ΔC =υΔσ

C(σ +Δσ)≈ C(σ)+ΔC(Δσ)≈ C(σ)+υΔσ

A.N.

C(σ) =11,669

C(σ +Δσ)= 11,976

υ =0,303 pour Δσ = 1 et pour Δσ = 1 %, υ =30,3

C(σ +Δσ)≈ C(σ)+υΔσ ≈11,669+0,303× 100 ×0,01=11,972

Exemple :

Une banque d’investissement détient le portefeuille A dont la composition
est représentée dans le tableau suivant :

L’option Z se négocie sur le marché avec un ΔZ= 0,6 , ΓZ =1,5 et υZ =0,8.