Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

On considère un market-maker (faiseur de marché) qui pour effectuer une
couverture en delta, vend un call européen at the money (à parité) sur une
action ne payant pas de dividende avec une échéance dans trois mois. Le
taux sans risque composé en continu est 10%, le prix courant de l’action
est 50, le delta courant de l’option call est 0,6179 et on compte 365 jours
dans l’année. Si après une journée, le market-maket ne réalise ni perte ni
profit, déterminer la variation du prix de l’action sur la journée.

Solution:

La variation du prix de l’action est donnée par plus ou moins σS( 0 ) h.

h=

1

365

et S( 0 ) = 50 reste à déterminer σ. Δ=N(d 1 )= 0,6179, on en déduit

que d 1 =0,3 et comme S=E et l’action ne paie pas de dividende δ = 0 , la va-

leur de d 1 devient: d 1 =

(r +

1

2 σ

2

)T

σ T

1

2

σ^2 −

d 1

T

σ +r = 0

1

2

σ^2 −

d 1

T

σ +r = 0

1

2

σ^2 −

0,3

0,25

σ +0,1= 0

1

2

σ^2 −0,6σ +0,1= 0 par factorisation on obtient :

1

2

(σ− 1 )(σ −0,2)= 0.

On rejette la solution σ = 1 parce que trop élevée. Par conséquent, la va-

riation du prix est égale à: σS( 0 ) h =0,2× 50 ×0,25≈ 0,52

Au temps t = 0 , le market maker vend une option call au prix C(t) et se
couvre en delta par l’achat de Δt actions au prix unitaire S(t). Au temps