Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

t+dt le prix de l’action passera à S(t+dt) et le prix de l’option call passera

à C(S(t+dt),t+dt). Comme le portefeuille de couverture est financé par

emprunt, le market maker devra rembourser les intérêts au taux r correspon-
dant à la période de détention du portefeuille pour un montant de

ΔtS(t)−C(t). Ainsi son profit au temps t+dt sera:

Δt[S(t+dt)−S(t)]−[C(t+dt)−C(t)]−[ΔtS(t)−C(t)](rdt)

D’après le lemme d’Itô on calcule dC(S(t),t):

dC(S(t),t)= δC

δS

dS+^1

2

δ^2 C

δS^2 (

dS)^2 + δC

δt

qu’on peut écrire en fonction des

greeks: dC(S(t),t)= ΔtdS+^1
2

Γt(dS^2 )+θtdt. Or On sait que:

dS(t)= S(t)[αdt+σdZ(t)] élevée au carrée et par application des règle de

multiplication stochastique, on obtient:

(dS)

(^2) =
[S(t)]
2
[α^2 (dt)^2 +σ^2 (dZ)^2 +^2 ασdtdZ]
dZ =ε dt, (dt)^2 = 0 , dtdZ =dtε dt =εdt^32 = 0 et (dZ)^2 = dt
(dS)
(^2) =
[S(t)]
(^2) σ (^2) dt qu’on remplace par sa valeur dans l’équation ci-des-
sus:
dC(S(t),t)= ΔtdS+

1

2

Γt[S(t)]^2 σ^2 dt+θtdt

Le profit du market-maker sera alors:

Δt[S(t+dt)−S(t)]−[C(t+dt)−C(t)]−[ΔtS(t)−C(t)](rdt)

ΔtdS(t)−dC(S(t),t)−[ΔtS(t)−C(t)](rdt)

On remplace dC(S(t),t) par sa valeur on obtient:

ΔtdS(t)−ΔtdS−^1

2

Γt[S(t)]^2 σ^2 dt−θtdt−[ΔtS(t)−C(t)](rdt)