Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

−[^1

2

Γt[S(t)]^2 σ^2 +θt+[ΔtS(t)−C(t)](r)]dt

Il faut noter qu’au temps t, S(t) est connu, par conséquent le profit du mar-
ket maker n’est pas stochastique. En l’absence d’opportunités d’arbitrage
cette équation doit être égale à zéro:

−[^1

2

Γt[S(t)]^2 σ^2 +θt+[ΔtS(t)−C(t)](r)]dt = 0

δC

δt

+

1

2

δ^2 C

δS^2 (

S(t))^2 σ^2 +

δC

δS

rS(t)−rC(t)= 0

Ceci n’est autre que l’EDP de Black et Scholes.

Exemple :

Une banque vend pour un montant de 300.000 une option call européenne
sur 100.000 actions ne payant pas de dividendes.
S 0 = 49 ,K= 50 ,r = 5 %,σ = 20 %,μ= 13 %, τ = 20 semaines.

1.Calculer la valeur de l’option call quel est le nombre de call qui assure une
couverture en delta neutre.

2. Répondre à la question précédente si l’option était un put?

Solution :

1. Valeur de l’option selon la formule de B&S :

C= S 0 N(d 1 )−Ke−rτN(d 2 )

d 1 =

logSK^0 +(r +0,5σ^2 )τ

σ τ