III. Evaluation de quelques produits dérivés
- Evaluation d’une option d’achat (call)
Un call est option d’achat qui confère à son détenteur le droit et non l’obligation
d’acheter une certaine quantité d’un actif sous-jacent à un prix d’exercice prédéter-
miné et à une date d’échéance fixée d’avance. Le prix du call est la prime à payer en
début de période. Dans cet exemple, on considère un call sur le titre 1 avec un prix
d’exercice 25 et une échéance dans une seule période de temps. Le prix du call est 7.
L’achat du call confère à son détenteur le droit d’acheter le titre 1 à 5 25 à la fin de la
période quelque soit l’état de la nature qui peut avoir lieu dans le futur. Rappelant
que le titre 1 peut prendre les valeurs de 25 ou 30 ou 40 dans les états 1, 2 et 3 respec-
tivement. L’achat du call élimine toute possibilité d’exercice à un prix supérieur à 25.
A la date d’échéance le revenu associé à une position longue sur un call est égal à
C= (C 1 ,C 2 ,C 3 )
C= (max( 25 −25,0),max( 30 −25,0),max( 40 −25,0))=( 0 , 5 , (^15) )
Pour déterminer le prix du call en début de période on peut procéder par réplication
:
Min
(ω 1 ,ω 2 ,ω 3 )
V= 30 ×ω 1 +52,5×ω 2 + 50 ×ω 3
25 ×ω 1 + 45 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 0
30 ×ω 1 + 55 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 5
40 ×ω 1 + 65 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 15
ω 1 ≥− 2
ω 2 ≥− 2
La résolution de ce problème donne la composition du portefeuille de réplication :