Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

35 40 45 50 55 60 65

-5

-2,5

2,5

5

7,5

V(t) 10

S(t)

Exemple :

On considère trois options européennes avec la même maturité, sur le
même actif sous-jacent et avec des prix d’exercice différents : K 1 , K 2 , K 3.

On suppose que : K 1 <K 2 < K 3. Soit ω un nombre réel compris entre 0 et 1

et qui satisfait l’équation : K 2 =ωK 1 +( 1 −ω)K 3. Montrer que l’inégalité sui-

vante doit être vérifiée pour que la condition d’absence d’opportunité d’arbi-
trage soit satisfaite : C(K 2 ) ≤ωC(K 1 )+( 1 −ω)C(K 3 ). Avec C(K) est le prix

d’une option avec un prix d’exercice K.

Solution :

Si C(K 2 ) ≤ωC(K 1 )+( 1 −ω)C(K 3 ) vérifie l’absence d’opportunité d’arbitrage

alors l’opposée de cette relation c’est-à-dire C(K 2 ) >ωC(K 1 )+( 1 −ω)C(K 3 )
doit permettre de réaliser des gains d’arbitrage sans risque. Il suffit de prou-
ver que la relation C(K 2 ) >ωC(K 1 )+( 1 −ω)C(K 3 ) présente des gains d’arbi-

trage pour montrer que la relation C(K 2 ) ≤ωC(K 1 )+( 1 −ω)C(K 3 ) vérifie l’ab-

sence d’opportunités d’arbitrage sans risque.