Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

(a)ST <K 1 , Gain = 0

(b)K 1 < ST < K 2 , Gain = ω(ST−K 1 )> 0

(c)K 2 < ST < K 3 , Gain = −ST+K 2 +ω(ST−K 1 ) > 0

On sait que d’après K 2 =ωK 1 +( 1 −ω)K 3 on a ω =

K 2 −K 3

K 1 −K 3

. On remplace ω

par sa valeur dans l’équation du gain on obtient : Gain =
(K 2 −K 1 )(ST−K 3 )
K 1 −K 3

> 0

(d) ST >K 3 , Gain =

−ST+K 2 +ω(ST−K 1 )+( 1 −ω)(ST−K 3 )=K 2 −ωK 1 −( 1 −ω)K 3 = 0 par défini-

tion.

t=0 t=Tt=Tt=Tt=T

S(T)<K1 K1<S(T)<K2 K2<S(T)<K3 S(T)>K3

Vente

C(K2)

0 0 -(S(T)-K2) -(S(T)-K2)

Achat

-wC(K1)

0 w(S(T)-K1) w(S(T)-K1) w(S(T)-K1)

Achat

-(1-w)C(K3)

0 0 0 (1-w)(S(T)-K3)

Total

C(K2)-C(K1)-C(K3)

0 w(S(T)-K1) -(S(T)-K2)+ w(S(T)-K1)

-(S(T)-K2)+

w(S(T)-K1)+

(1-w)(S(T)-K3)

(a)=0 (b)>0 (c)>0 (d)=0