Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

du swap, le point de vue de la partie qui paie le taux fixe. On représente le revenu va-
riable par le rendement du titre 2 et le revenu fixe par le celui du titre 3. On com-
mence par évaluer le revenu variable par réplication. Pour un investissement d’un
montant K, on résout pour le portefeuille de réplication le le problème suivant :

Min

(ω 1 ,ω 2 ,ω 3 )

V=P 1 ×ω 1 +P 2 ×ω 2 +P 3 ×ω 3

P 11 ×ω 1 +P 21 ×ω 2 +P 31 ×ω 3 = K× P^21 P− 2 P^2

P 12 ×ω 1 +P 22 ×ω 2 +P 32 ×ω 3 = K× P^22 P− 2 P^2

P 13 ×ω 1 +P 23 ×ω 2 +P 33 ×ω 3 = K× P^23 P− 2 P^2

Le portefeuille de réplication sera donc composé de

W=(ω 1 =^0 ω 2 = PK 2 ω 3 =− PK 3 j ×P (^3) )
avec P 3 j =P 31 =P 32 =P 33. Le taux de rendement du titre 3 est
P 3 j
P 3
= 1 +rf. Ceci si-
gnifie que la structure du portefeuille de réplication est constituée d’une position
courte sur l’obligation sans risque K
1 +rf
et d’une position longue sur le titre 2 avec
un coût de K
P 2
×P 2 =K. Le coût du portefeuille de réplication est

K−

K

1 +rf

=

rf ×K

1 +rf

. L’opération consiste à emprunter à t = 0 la somme de

K

1 +rf

et

avec le produit de l’emprunt acheter

K

P 2

unités du titre 2 revenant à un coût d’un

montantK
P 2

×P 2 = K. Le coût de l’opération sera donc

rf ×K

1 +rf

.