Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

N

∑

i= 1

Oij×ωi⩾ 0 j =1,2,..,S=T

Si le vecteur des poids W d’éléments ωi est égal au vecteur nul on dira alors que le
marché est arbitré et la condition d’absence d’opportunité d’arbitrage est vérifiée.

Dans le marché d’actions les états de la nature doivent se réaliser dans le futur et un
et un seul de ces états se réalise effectivement. Dans le marché des obligations les pé-
riodes de temps sont subséquentes ou consécutives par conséquent 1 dinar obtenu au
temps 0 peut être transporté jusqu’au temps 1 et 1 dinar obtenu au temps 1 peut être
transporté jusqu’au temps 2 etc. Cette caractéristique n’est pas prise en considération
dans la recherche du portefeuille d’arbitrage par optimisation.

Pour constituer un portefeuille sans risque, il n’y a pas d’autres alternatives que de
supposer que 1 dinar dans la période 1 permet de couvrir au plus 1 dinar dans la pé-
riode 2. Si on a pour plus de 1 dinar au temps 2, certains risques doivent être considé-
rés dans la position. Si même un risque infinitésimal est engendré par le portefeuille,
celui-ci ne peut être considéré comme un portefeuille d’arbitrage.

On peut prendre l’excédent du revenu obtenu au temps j et l’utiliser pour couvrir le
manque s’il existe au temps j+ 1. On reformule le problème d’optimisation pour te-
nir compte de cette possibilité. Ceci peut être fait par l’introduction de variables addi-
tionnelles non négatives, z 0 ,z 1 ,z 2. La variable z 0 représente le revenu qu’on peut
transférer de la période 0 à la période 1 et pouvant être utilisé pour couvrir n’importe
quel manque de fonds pouvant survenir dans cette période. De même pour z 1 , c’est
le montant qu’on peut transférer de la période 1 à la période 2, on le déduit du reve-
nu obtenu au temps 1 et on l’ajoute au revenu obtenu au temps 2 etc. Les valeurs des
z doivent être positives puisque les valeurs négatives signifient que les revenus sont
transférables dans le sens contraire du temps. Les valeurs négatives de z signifient em-
prunter à la période courante contre un excès de revenu qui sera obtenu la période
suivante.

max

(ω 1 ,ω 2 ,ω 3 )

−V=− 94 ×ω 1 − 96 ×ω 2 − 87 ×ω 3 −z 0