Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Min

(ω 1 ,ω 2 ,ω 3 )

V= 30 ×ω 1 +52,5×ω 2 + 50 ×ω 3

25 ×ω 1 + 45 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 0

30 ×ω 1 + 55 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 0

40 ×ω 1 + 65 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 0

Il s’agit donc de résoudre un programme linéaire non standard par la méthode du
simplexe. La solution de ce problème en termes de poids dans le portefeuille est :

W=(ω 1 =0,ω 2 =0,ω 3 = (^0) )
Ceci signifie qu’il n’existe aucun portefeuille autofinancé pouvant être constitué sur le
marché et qui en même temps génère un revenu positif. Dans ce cas précis, on dira
que la condition d’absence d’opportunité d’arbitrage est vérifiée. Si par contre la
structure des prix des actifs sur le marché donne une solution pour le portefeuille d’ar-
bitrage, différente du vecteur nul, alors la phase d’évaluation ne peut être entamée
qu’après l’exploitation de toutes les opportunités de gain sans risque et sans mise de
fonds initiale.
Si le prix du titre 2 est égal à 53 au lieu de 52,5, l’arbitrage devient possible et la con-
dition de non arbitrage n’est plus respectée. On résout le problème d’optimisation
après avoir remplacé le prix du titre 2 par 53 au lieu de 52,5. Le problème peut ne
pas être borné ou délimité, c’est-à-dire qu’il existe un portefeuille pour lequel la mini-
misation donne un résultat qui correspond à un coût négatif. Ceci signifie qu’il existe
une opportunité d’arbitrage qui permet de réaliser un gain infini.