Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

d<Rf < u. Au temps T on a les deux équations suivantes qui comportent

deux inconnues ΔC et B: Cu= ΔCuSt+( 1 +rf)B et Cd =ΔCdSt+( 1 +rf)B.

On fait la différence entre les deux équations, on obtient : ΔC=

Cu−Cd

(u−d)St

et

B=

uCd−dCu

(u−d)Rf

pour trouver B on remplace ΔC par sa valeur dans l’une des

deux équations :

Cd=

Cu−Cd

(u−d)St

dSt+RfB ⇔ Cdu−Cdd =Cud−Cdd+RfB(u−d) ⇔

Cdu=Cud+RfB(u−d) ⇔ Cdu= Cud+RfB(u−d) ⇔

B=

Cdu

Rf(u−d)

−

Cud

Rf(u−d)

⇔ B=

Cdu−Cud

Rf(u−d)

On sait que :

Ct= ΔCSt+B ⇔ Ct=

Cu−Cd

(u−d)St

St+

Cdu−Cud

Rf(u−d)

⇔

Ct=

RfCu−RfCd

Rf(u−d)

+

Cdu−Cud

Rf(u−d)

⇔ Ct =^1

Rf (

Rf −d

u−d

Cu+

u−Rf

u−d

Cd

)

Application numérique :

On considère un Call sur action avec un prix courant 300 et un prix d’exer-
cice 330. Les facteurs multiplicatifs à la hausse et à la baisse sont 1,6 et
0,8. Le taux sans risque est 12%.

Ct=^1
1,12 (

1,12−0,8

1,6−0,8

150 + 1,6−1,12

1,6−0,8

(^0) )=53,37
Ct=

1

Rf(

Rf −d

u−d

Cu+

u−Rf

u−d

Cd

)