Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

On remarque que la somme :

Rf −d

u−d

+

u−Rf

u−d

= 1 et que si

Rf−d

u−d

> 0 et

u−Rf

u−d

> 0 on peut les définir

comme étant un système de probabilité. En effet,

Rf −d

u−d

> 0 ⇒ Rf >d et

u−Rf

u−d

> 0 ⇒ u> Rf et comme u>d alors d< Rf <u qui n’est autre que la

condition d’absence d’opportunité d’arbitrage sans risque.

On pose

Rf−d

u−d

= π et

u−Rf

u−d

= 1 −π avec π et 1 −π les probabilités d’avoir

une hausse u et une baisse 1 −π. La simple existence de ce système de pro-
babilité qu’on appelle probabilités risque neutre garantie l’absence d’oppor-
tunité d’arbitrage sans risque. Ainsi, on peut appliquer le théorème fonda-
mental d’évaluation des actifs qui dit que la valeur actuelle d’un actif risqué
est toujours égale à l’espérance mathématique de sa valeur future, actuali-
sée au taux sans risque :

Ct=^1
Rf(

πCu+( 1 −π)Cd)

π =

Rf −d

u−d

= 1,12−0,8

1,6−0,8

=0,4 et 1 −π =

u−Rf

u−d

= 1,6−1,2

1,6−0,8

=0,6

Ct=^1
Rf(

πCu+( 1 −π)Cd)=^1

1,2(

0,4x 150 +0,6x (^0) )=53,37
On vérifie aussi qu’au temps t = 0 la valeur actuelle d’une unité monétaire
placée dans l’action qui offre u en cas de hausse et d en cas de baisse avec
les probabilités π et 1 −π est égale à :
1
Rf (
πu+( 1 −π)d) = 1 ⇔ πu+( 1 −π)d =Rf ⇔ π =
Rf−d
u−d