Date 0 Date T
S(T)<40 40<S(T)<50 50<S(T)<55 S(T)>55
Achat 1 call
K=40 -11^0 S(T)-40 S(T)-40 S(T)-40
Vente 3 calls
K=50 +18^00 -3(S(T)-50) -3(S(T)-50)
Prêt 1 -1 exp(rt) exp(rt) exp(rt) exp(rt)
Achat 2 calls
K=55 -6^000 2(S(T)-55)
Total 0 exp(rt)>0 +S(T)-40>0exp(rt) 2(55-S(T))>0exp(rt)+ exp(rt)>0- Les prix ainsi structurés présentent des gains d’arbitrage sans risque.
Date 0 Date T
S(T)<40 40<S(T)<50 50<S(T)<55 S(T)>55
Achat 2 calls et vente 2 puts
K=55 2(-3+11)=16 -2(55-S(T)) -2(55-S(T)) -2(55-S(T)) 2(S(T)-55)
Achat 1 call et vente 1 put
K=40 -11+3=-8 -(40-S(T)) S(T)-40 S(T)-40 S(T)-40
Prêt de 2 -2 2exp(rt) 2exp(rt) 2exp(rt) 2exp(rt)
Vente 3 calls et achat 3 puts
K=50 3(6-8)=-6 3(50-S(T)) 3(50-S(T)) -3(S(T)-50) -3(S(T)-50)
Total 0 2exp(rt)>0 2exp(rt)>0 2exp(rt)>0 2exp(rt)>0Exemple :
On considère une compagnie d’assurance qui commercialise un contrat
de rente différé à prime unique avec un rendement indexé à la valeur d’un in-
dice de marché d’actions notée par S(t) au temps t. Le contrat offre un taux
de rendement minimum garanti de x%. Le détenteur de la police d’assu-
rance paie une prime unique d’un montant π. La compagnie d’assurance dé-
duit le montant πy%. A la date d’échéance la compagnie d’assurance paie
le détenteur de la police :
π( 1 −y%)Max(S(T)
S( 0 )
,( 1 +x%)T))