Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Le contrat arrive à échéance dans un an, le taux de rendement minimum
garanti x% = 3 %. Les dividendes sont incorporés dans l’indice (les dividen-
des de toutes les actions sont inclus dans l’indice et sont tous réinvestis),
S( 0 ) = 100 , le prix d’une option put européenne d’un an avec un prix d’exer-
cice 103 sur l’indice est 15,21.

Déterminer y%de telle sorte que la compagnie d’assurance ne réalise ni
gain ni perte sur ce contrat.

Solution:

Le revenu à la date d’échéance du contrat est donné par:

π( 1 −y%)Max(

S(T)

S( 0 )

,( 1 +x%)T))

= π( 1 −y%)Max(S(^1 )

S( 0 )

,( 1 +x%))) pour T = 1

= [ π

S( 0 )](

1 −y%)Max(S( 1 ),S( 0 )( 1 +x%)))

= [

π

100 ](

1 −y%)Max(S( 1 ),103) pour S( 0 ) = 100 et x = 3

On utilise les identités :

Max(S(T),K)=S(T)+Max( 0 ;K−S(T))

Max(S(T),K)=K+Max( 0 ;S(T)−K)

= [

π

100 ](

1 −y%)[S( 1 )+Max( 0 ; 103 −S( 1 ))]

Max( 0 ; 103 −S( 1 )) est la valeur intrinsèque d’une option de vente euro-

péenne sur l’indice avec un prix d’exercice 103. Le prix de cette option au
temps t = 0 est 15,21. En l’absence de gains d’arbitrage, la valeur du con-
trat au temps t = 0 est :