LE MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN
Le raisonnement simple dans un cadre uni-périodique s’applique également
sur plusieurs périodes. L’approche présentée montre que le prix de l’option
à un nœud donné de l’arbre binomial (correspondant à un instant donné)
est calculé à partir des deux nœuds suivants. Il suffit de prendre la valeur de
l’option en cas de hausse du prix du support et de la multiplier par la proba-
bilité π et d’utiliser la valeur de l’option en cas de baisse du prix du support
et de la multiplier par la probabilité complémentaire 1 −π. La valeur obte-
nue pour l’option est actualisée ensuite au taux sans risque. Ainsi, la valeur
de l’option pour n’importe quel état de la nature, est donnée par la valeur es-
pérée actualisée au taux sans risque.
Généralisation du modèle binomial multi-périodique
La probabilité assignée à une réalisation complète qui présente n mouve-
ment à la hausse du prix de l’action, pendant T période, est πn( 1 −π)T−n et le
nombre de réalisation complète qui présente n mouvement à la hausse est
(
T
n)=
T!
n!(T−n)!. Pour chacune des réalisations complète le prix final de
l’action à la date T est égal à ST =SundT−n. La probabilité de neutralisation
du risque, pour que ST =SundT−n , est égale à T!
n!(T−n)!
πn( 1 −π)T−n.Considérons une option d’achat européenne sur une action de prix d’exer-
cice E et d’échéance T. La valeur de cette option à la date T est égale à
CT =max(ST−E,0). Au temps t, on applique le théorème fondamental d’éva-
luation des actifs qui dit que la valeur actuelle d’un actif est égale à l’espé-
rance mathématique de sa valeur future actualisée au taux sans risque: