Pt= Ct−St+KR−(T−t), On remplace Ct par sa valeur:
Pt= R−(T−t)K( 1 −Φ(a,T−t,π))−St( 1 −Φ(a,T−t,π′) (^) )
Convergence du modèle CRR au modèle de B&S:
Pour que le modèle binomial converge vers le modèle Brownien on doit véri-
fier que: E
(
dSt
St )
≈α(T−t) et Var
(
dSt
St )
≈σ^2 (T−t).
On sait que ST =Stuxdn−x avec x le nombre de mouvements à la hausse,
(n−x) le nombre de mouvement à la baisse et n le nombre d’accroissement
périodique avec n tend vers l’infini. x est une variable aléatoire.
Ln
(
ST
St)= xLn(u)+(n−x)Ln(d) =xLn(u
d)+nLn(d)ST
Stsuit une loi lognormale alors LnST
Stsuit une loi normale et donc x suit uneloi normale.
On pose u =eσ
T−nt
et d =^1
u=e−σT−nt
et R = 1 +rf =eα(Tn−t)ex suit une loi lognormale. Dans ce cas u suit une loi lognormale et Ln(u) suit
une loi normale. Il en sera de même pour d et R. par conséquent la probabili-
té risque neutre sera calculer comme suit:
π = Lne
α(Tn−t)−Lne−σ T−ntLneσTn−t
−Lne−σTn−t =α(Tn−t)+σ Tn−tσ T−nt +σ Tn−t=
1 + ασ T−n t
2