Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Soit Zi= 1 si le ième mouvement est à la hausse et Zi= 0 sinon. Les Zi sont

indépendants. xi=

n

∑i= 1 Zi suit une loi binomiale de moyenne E(x) =nπ et de

Var(x) =nπ( 1 −π).

E Ln
(

ST

St)

≈E

(

dSt

St )

=E(x)Ln(u

d)

+nLn(d)

E

(

dSt

St )

=nπLn(

u

d)

+nLn(d)

On remplace u, d et π par leurs valeurs:

E

(

dSt

St )

=n

1 + ασ Tn−t

(^2) (
2 σ T−t
n )
−n
(
σ T−t
n )
=α(T−t)
Var
(
dSt
St )
=Var(x)(Lnu
d)
2
=nπ( 1 −π)(Lnu
d)
2
Var
(
dSt
St )
=n
1 + ασ T−n t
2

1 −

1 + ασ Tn−t

2

4 σ^2 T−t

n

Var
(

dSt

St )

=n

(

1

2

+ α

2 σ

T−t

n )(

1

2

− α

2 σ

T−t

n )

4 σ^2 T−t

n

Var
(

dSt

St )

=

n

(^4) (

1 +

α

σ

T−t

n )(

1 −

α

σ

T−t

n )

4 σ^2

T−t

n