Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Les investisseurs préfèrent réduire le risque sans se priver de la possibilité
de réaliser un profit. Dans ce cas les options constituent le produit financier
convenable pour répondre à cet objectif.

Il est possible d’opérer à la duplication d’une option à partir d’une position
sur le titre sous-jacent et d’une opération de prêt ou emprunt. Mesurer le ris-
que et la rentabilité d’une option revient par conséquent à mesurer la rentabi-
lité et le risque d’un portefeuille constituer à la fois de titres et de l’actif sans
risque. Une option d’achat est équivalent à une position longue sur h action
et à un emprunt B:

Première approche

Au temps t = 0 l’option call est dupliquée par: C =hS+B

L’emprunt sans risque est dupliqué par les deux autres actifs qui sont l’actif
sous jacent et le call par l’équation : B=hS−C

Au temps temps t+Δt , B( 1 +r) =h(S+ΔS)−(C+ΔC)

On déduit que : (hS−C)( 1 +r)=h(S+ΔS)−(C+ΔC)

hS+rhS−hS−hΔS=−C−ΔC+C+rC

On multiplie et on divise le membre gauche par S et membre de droite par
C. On obtient:

(rhS−hΔS)

S

S= (−ΔC+rC)

C

C

(^) (rh−hΔS
S )
S=(r − ΔC
C )

C

ΔC

C

= r +(ΔS

S

−r)h S

C

Le rapport des primes de risque: