Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

C(

E(CT)−C

C

−r) =Cλh S

C

Cov(RS,RM)

E(CT)−C−rC =λhSCov(RS,RM)

E(CT)−C( 1 +r)=λhSCov(

ST−S

S

,RM)

E(CT)−C( 1 +r)=hS

1

S

λCov(ST−S,RM)

E(CT)−C( 1 +r)=λhCov(ST,RM)

C=

E(CT)−λhCov(ST,RM)

1 +r

On montre qu’à l’équilibre il n’ya aucune opportunité d’arbitrage sans risque
et que la position est delta neutre.

on sait que h = δC
δS

, on remplace dans l’équation du CAPM:

C=

E(CT)− δδCSλCov(ST,RM)

1 +r

, on obtient une équation différentielle qu’on ré-

sout comme suit:

δC

δS

= C

−R

λCov(ST,RM)

+E(CT)

1

λcov(ST,RM)

On pose : m = −R
λCov(ST,RM)

et p =E(CT)^1

λcov(ST,RM)

on obtient la forme

d’une équation différentielle:

δC

δS

= mC+p dont la solution s’écrit sous la forme:

C= C 0 + p
m

e−mS^0 emS− p

m

on remplace m et p par leurs valeurs respectives on

obtient: