Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Le prix de l’option call américaine est le même que celui de l’option call
européenne.

2.On peut calculer la valeur de l’option call européenne en utilisant la for-

mule de probabilité binomiale:

C =e−rT

[(

2

2 )π

2

]

Cuu+(^21 )π( 1 −π)Cud+(^20 )( 1 −π)^2 Cdd

C=e−0,1[ 2 !( 22 −! 2 )!×0,4502^2 ×10,9731+ 1 !( 22 −! 1 )!×0,4502×0,542×0,1028+ 0 !( 22 −! 0 )!0,542^2 × (^0) ]
C =e−0,1[0,4502^2 ×10,9731+ 2 ×0,4502×0,542×0,1028+0,542^2 × (^0) ]=2,0507
Exemple :
On considère une option put américaine de 9 mois libellée en dollar améri-
cain sur la livre sterling. Le taux de change courant est 1,43 US dollar par li-
vre sterling. Le prix d’exercice du put est 1,56 US dollar par livre sterling. La
volatilité du taux de change est 0,3. Le taux sans risque composé en conti-
nu sur le US dollar est 8% et le taux sans risque composé en continu sur la
livre sterling est 9%. Calculer le prix du put par l’application d’un modèle bi-
nomial à trois périodes de temps.
Solution:
Chaque période de temps vaut trois mois t =0,25. Pour les options de
changes on définit les mouvements à la hausse et à la baisse comme suit :
u= e(r−rf)t+σ t = e(0,08−0,09)×0,25+0,3× 0,25 =e0,1475 =1,158933
d= e(r−rf)t−σ te(0,08−0,09)×0,25−0,3× 0,25= e−0,1525 =0,858559
La probabilité risque neutre d’un mouvement à la hausse est donnée par
la formule :
π = e
(r−rf)×t)−d
u−d
= e

−0,1×0,25−0,858559

1,158933−0,858559

= 0,4626

La probabilité risque neutre d’un mouvement à la baisse 1 −π =0,5374.

On vérifie aussi que la probabilité risque neutre s’obtient par :