Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

La méthode de réplication consiste à trouver les trois portefeuilles constitués des trois
titres 1,2, 3 qui permettent de dupliquer ou de reproduire les revenus associés aux
trois actifs purs respectivement. Ceci revient à résoudre le problème suivant :

Min

(ω 1 ,ω 2 ,ω 3 )

V= 30 ×ω 1 +52,5×ω 2 + 50 ×ω 3

25 ×ω 1 + 45 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 1 ∣ 0 ∣ 0

30 ×ω 1 + 55 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 0 ∣ 1 ∣ 0

40 ×ω 1 + 65 ×ω 2 + 55 ×ω 3 ⩾ 0 ∣ 0 ∣ 1

La solution est donnée par le vecteur des poids correspondant à la composition du
portefeuille de duplication W 1 =(ω 1 =0,2 ω 2 = −0,2 ω 3 =0,09).

Pour déterminer le coût de ce portefeuille il suffit de substituer les poids optimaux
dans la fonction objectif. V 1 = 60 ×0,2+ 105 ×−0,2+ 100 ×0,09 =0,05.

V 1 =0,2 , s’interprète comme la valeur actuelle du revenu associé à l’actif pur A 1 qui
rapporte une unité monétaire si l’état S 1 se réalise et zéro sinon. Ceci correspond aus-
si au prix de l’état S 1. En d’autre termes si quelqu’un souhaite réaliser un revenu fu-
tur de 1 dinar si l’état de la nature S 1 se réalise, il lui faudra alors vendre à découvert
0,2 unités du titre 2 au prix P 2 =52,5 et avec le produit de la vente il devra acheter
0,2 unités du titre 1 à un prix P 2 = 30 et 0,09 unités d’une obligation à un prix
P 2 = 50. Le coût de ce portefeuille est 0,05 et c’est le prix le moins cher possible sur
ce marché.