gue à une marche aléatoire. On peut le décrire comme une séries de très
petit pas (infinitésimal) où chaque pas est généré aléatoirement à partir
d’une distribution normale standard. Un processus W est un mouvement
Brownien standard si : Wt est continu et W 0 = 0. Il a des accroissements indé-
pendants et ces accroissements Ws+t−Ws suivent une distribution normale
avec une moyenne zéro et un écart type t. Ceci implique que les accrois-
sements sont stationnaires, c’est-à-dire que leur distribution n’est fonction
que de la longueur de l’intervalle du temps temps t. Cette distribution n’est
pas fonction de la position s.
Il en découle que le mouvement Brownien standard est une martingale et a
la propriété de Markov. En terme discret, les accroissements dans un mou-
vement Brownien standard sur une période courte du temps δt sont repré-
sentées par ε δt avec ε est une génération aléatoire d’une distribution nor-
male standard. Les accroissements du mouvement Brownien sont générés
d’une distribution normale, il n’y à donc ni limite supérieure ni limite infé-
rieure. Ils évoluent dans un environnement naturel dans ce sens qu’ils peu-
vent atteindre n’importe quelle limite, abstraction faite de sa taille grande ou
petite. Le mouvement Brownien est continu mais il est non différentiable. Il
ne se présente jamais comme une surface régulière ou consistante, il n’est
soumis à aucune projection perceptible, toujours différents de ce qui est at-
tendu. Le mouvement Brownien est l’élément stochastique du comporte-
ment du prix de l’action qui est communément utilisé pour évaluer les op-
tions.
3.Modélisation du comportement des prix de l’action
Le mouvement Brownien standard ne permet de capturer que l’élément aléa-
toire du comportement du prix de l’action. Ceci représente la réaction du
prix de l’action aux informations nouvelles, qui sont aléatoires par définition.
Les actions ne réagissent pas de la même façon aux informations nouvelles,
c’est pourquoi l’élément aléatoire doit être ajusté par un paramètre spécifi-
que représentant la volatilité de l’action. Les actions permettent aussi de réa-