liser un rendement espéré, le mécanisme des anticipations fait que les prix
des actions sont supposé se développer selon un mouvement haussier. Ce
élément est exprimé par l’ajout d’un drift positif déterministe ou non stochas-
tique à l’équation représentant l’espérance du rendement de l’action. L’élé-
ment de proportionnalité, aussi bien l’espérance du rendement que les mou-
vements aléatoires (ou volatilité) doivent être mesurés proportionnellement à
la valeur de l’action. De même on mesure la volatilité en pourcentage et non
pas en unités monétaires.
Le comportement du prix d’action est décrit par un mouvement géométri-
que Brownien dans une équation différentielle :
dSt =μStdt+σStdW avec S 0 > 0
μStdt est le drift et σStdW est la diffusion. La propriété iid permet d’exprimer
les rendements de l’action en pourcentage,
dSt
St=μdt+σdW.dSt
St, suit unedistribution normale parce qu’il est le résultat d’une transformation linéaire
de la variable dW qui suit une distribution normale. Ces rendements ont es-
pérance sur des périodes courtes de temps μdt et une variance σ^2 dt. Les
rendements suivent une distribution normale et leurs espérances et leurs va-
riances croît en fonction du temps.
dSt =μStdt+σStdW ceci est une équation différentielle stochastique (SDE),
c’est une équation différentielle qui comporte un processus stochastique.
Le marché comporte en plus des actions, des obligations sans risque, B qui
sont définis par l’équation; dBt =rfBt ou rf est le taux de rendement sans ris-
que. Si l’action présent une volatilité σ = 0 , le terme aléatoire disparait de
l’équation régissant le prix de l’action et on obtient; dSt=μStdt ou
dSt
St=μdt.On obtient un processus similaire à celui de la dette B. Dans ce cas particu-
lier le processus peut s’écrire comme
dSt
dt=μSt. Si on intègre ceci sur l’inter-