Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

valle de temps [0,T] on obtient ST = S 0 eμT. L’équation dSt=μStdt+σStdW est

utilisée pour générer des séries temporelles des prix ou des rendements de
l’action. Supposons qu’on veut générer une série de rendements journaliers
pour une action avec un prix courant 100, un rendement annuel espéré 15%
et une volatilité annuelle 30%. Supposant 250 jours de transactions par an,
les pas de temps journaliers sont 1/250. Le drift est 0,15/250=0,0006. Pour
le terme stochastique on doit générer d’une distribution normale de
moyenne 0 et de variance 1/250 (ou générer d’une distribution normale stan-

dard et multiplier le résultat par 1 / 250 ). Pour une première génération de

-0,00664065, on a :

δS=0,0006x 100 +0,3x 100 x−0,00664065=−0,13922. Le nouveau prix de l’ac-
tion sera 100-0,13922=99,861, on peut répéter les calculs pour le jour sui-
vant.

Y(t) suit un mouvement géométrique brownien :

dY(t)= μY(t)dt+σY(t)dW(t)

On peut résoudre cette équation de la manière suivante :

dY(t)= μY(t)dt+σY(t)dW(t), S( 0 ) = 1

On pose f(x)=log(x) ceci implique que f′( x) =

1

x

et f′′ ( x) =−

1

x^2

d(logY(t))=

1

Y

dY(t)+

1

2 (

−

1

Y^2 (t))

σ^2 Y^2 (t)dt

=^1

Y(

μY(t)dt+σY(t)dW(t))−^1

2

σ^2 dt

= (μ−

1

2

σ^2 )dt+σdW(t)

On pose, X(t) =log(Y(t))