dX(t) =(μ−^1
2
σ^2 )dt+σdW(t)La solution pour X est donnée par,
X(t) =X( 0 )e(μ−
(^12) σ (^2) )t+σW(t)
L’espérance mathématique est :
E(X(t))= X( 0 )eμt
Les propriétés du processus de Wiener dans l’équation décrivant un mouve-
ment géométrique brownien permettent de la simulation du prix du sous-ja-
cent, S(t) en un point spécifique du temps t, par la formule :
S(t) =S( 0 )e(μ−
(^12) σ (^2) )t+σε(t) t
ε(t)∼ N( 0 , 1 )
Pour obtenir les valeurs à tous les point du temps on utilise la formule
S(ti+ 1 ) =S(ti)e(μ−
(^12) σ (^2) )(ti+ 1 −ti)+σε(ti+ 1 ) ti+ 1 −ti
Trajectoires du prix de l’actif sous-jacent
dS suit un mouvement géométrique brownien.
Exemple de trajectoire du prix de l’actif sous-jacent
S 0 = 49 ,E= 50 ,σ = 0,2,r = 5 %,τ =^20
52
,N= 212
St=S 0 e(r−0,5σ^2 )dt+σε dt
ε ∼N( 0 , 1 )
Exemple de trajectoire du taux de rendement :
dS
S=(r −0,5σ^2 )dt+σε dt