Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Plus généralement, pour tout actif risqué qui paiera un revenu h(S) si l’état de la na-
ture s se réalise est donné par :

S 0 =∫

∞

0

h(S)Ψt(S)dS

avec h(S) une fonction intégrable.

On en déduit que la valeur actuelle d’une option d’achat c avec un prix d’exercice K
et une échéance dans t unités de temps est égale à :

C= ∫

∞

0

(S−K).Ψt(S)dS

Les probabilités risque neutre se déduisent directement à partie les facteurs d’actuali-
sation stochastique. Elles sont données par :

ft(S) =

Ψt(S)

∫ 0 ∞Ψt(S)dS

avec ft(S) ⩾ 0

On vérifie que ∫

∞

0

Ψt(S)

∫ 0 ∞Ψt(S)dS

=∫

∞

0

ft(S)= 1

ft(S) s’interprète comme la fonction de densité de probabilité risque neutre relative à
la réalisation de l’état de la nature s au temps t. Par substitution, on vérifie aussi que :

On sait que

∫

∞

0

Ψt(S)dS= e−rft

On en déduit que :

ft(S) =

Ψt(S)

e−rft

Il ressort que le prix de l’action est donné par :

S=∫

∞

0

SΨt(S)dS