Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

On déduit que l’espérance mathématique sous les probabilités risque neutre de la va-
leur actuelle de l’action est égale à :

S 0 =∫

∞

0

Sft(S)e−rftdS=Ef(St)

On sait maintenant que :

erft=∫

∞

0

Sft(S)

S 0

dS=Ef

(

St

S 0 )

ou encore que :

erft= 1 +Ef
(

St−S 0

S 0 )

= 1 +Ef(rt)

avec rt le taux de rendement de l’action sur la période [0,t].

D’après cette équation, sous les probabilités risque neutre l’espérance du rendement
sur une période de temps de longueur t est la même pour toutes les actions sur le mar-
ché. Cette espérance du rendement est égale au taux de rendement sans risque. L’ex-
plication intuitive est que dans un marché où les investisseurs ont un comportement
risque neutre, l’équilibre ne se réalise que lorsque tous les titres sur le marché ont le
même taux de rendement espéré et que celui-ci est égal au taux sans risque. Il n’est
pas nécessaire que le marché soit composé d’investisseurs risque neutre ni que la fonc-
tion de densité de probabilité des prix soit ft(.). Ce qui est par contre nécessaire est
l’absence d’opportunités d’arbitrage. Cette condition est équivalente à l’existence
d’une fonction de densité ft(.) qui satisfait l’équation :

S 0 =e−rftEf(St)

Dans un monde risque neutre on vérifie donc que :

erft=Ef
(

St

S 0 )