Pour étudier l'effet de la diversification sur la réduction du risque mesurer par la variance, on
considère le cas d'un portefeuille uniformément réparti entre n titres de telle sorte que
n
1
i=.Dans ce cas, La variance de portefeuille est définie comme suit:
−= = = = =+= = +n 1i 1nj i 1i j ijni 1nj 1ni 12
i2
i j ij i2p 2 ;
−= = =+= +n 1i 1nj i 12n iji 122(^2) i
p
n
2
n
Sachant que d'une part la moyenne est définie comme étant la somme des termes divisée par le
nombre de termes et d'autre part l'expression de la variance d'un portefeuille composé de n titres
comporte n termes de variance et n( n - 1)/2 termes de covariance distincts, la variance moyenne
et la covariance moyenne sont définies respectivement comme suit :
==
= =ni 1i
iini 12
iii
n n
;
( ) ( )
−= =+−= =+ −
=
−=n 1i 1nj i 1ij
ijn 1i 1nj i 1ijij
n n 122n n 1
L'expression donnant la variance du portefeuille peut s'écrire comme suit:
( )
= = =
−−
= +ni 1nj 1n iji 12(^2) i
p
ji
n n 1
2
n
n 1
n n
1
; ( ii ij) ij
2
ii ij p
2
p
n
1
n
n 1
n
1
= − +
−
= +
( ) ij
2
p
n n
0 lim
n
1
lim = =
→ →La limite de la variance du portefeuille quand n tend vers l'infini est égale àij. Quand le
nombre de titres constituant le portefeuille est grand, le risque du portefeuille tend
asymptotiquement vers la covariance moyenne
La variance d’un portefeuille diversifié diminue avec l’augmentation du nombre de titres. Pour
un nombre très grand de titres, la variance du portefeuille baisse jusqu’à une certaine limite
égale àij. Ceci signifie qu’il doit y avoir un nombre optimal de titres au-delà duquel, la
diversification n’apporte rien en termes de réduction du risque. Autrement dit, il existe toujours
une certaine quantité de risque ij qu’il n’y a pas moyen d’éliminer par une simple stratégie de
diversification