Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

La variance de l'action ABC est:

Exercice 13: Fonction d'utilité

1. On donne la fonction d’utilité suivante, où l’utilité dépend de la richesse 푊:

푈(푊)=푊−

푘

2

푊^2

On suppose que la richesse 푊 est liée à la richesse initiale 푊 0 et au rendement d’un actif

risqué 푅 de la manière suivante :

푊=푊 0 ( 1 +푅)

Monter qu’on peut réécrire la fonction d’utilité pour l’exprimer en fonction du

rendement :

푈(푅)=푎 0 +푎 1 푅−

푎 2

2

푅^2

2. Trouver une expression pour l’espérance de l’utilité 퐸(푈(푅)) en termes du rendement

espéré 휇 et de la variance휎^2. Trouver la pente d’une courbe d’indifférence dans le plan

écart-type rendement espéré. Expliquer le signe de cette pente.

Solution:

1. 
   

On pose:

on a donc:

2. 
   

 =

2

p

( )





























−

−





























− −

− −

− −

− −

 = − −

0 , 25

0 , 25

0 , 75

0 , 75

101 , 25 93 , 75 98 , 75 75

149 , 3125 283 , 4375 300 ,, 6875 98 , 75

141 , 5625 267 , 1875 283 , 4375 93 , 75

138 , 1875 141 , 5625 149 , 3125 101 , 25

0 , 75 0 , 75 0 , 25 0 , 25

2

p

658,5117 (^10) p 25 , 66148 %
2 4
p=   =
−
( ) ( ) ( )
2 2
0 W 0 1 R
2
k
UW =W 1 +R − +
( )= ( + )− ( + ) 
2 2
0 W 0 1 R
2
k
UW W 1 R ( )= + − ( + + )
2 2
0 0 W 0 1 2 R R
2
k
UW W WR
( )= + − − − 
2 2
0
2
0
2
0 0 0 W R
2
k
W kW R
2
k
UW W WR ( ) ( )
2 2
0
2
0 0
2
0 0 W R
2
k
W RW kW
2
k
UW =W − + − −
2
2 0
2
1 0 0
2
0 0 W 0 ;^ a W kW ;^ a kW
2
k
a =W − = − =
( )
2 2
0 1 R
2
a
UR =a +aR−