Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

On pose:

On a donc:

On pose:

On obtient:

On pose: ; on a donc:

La pente d'une courbe d'indifférence est déterminée comme suit:

On a:

Le signe de la pente est positif si et seulement si:

Donc, si , la forme de la fonction d'utilité est quadratique (fonction d'utilité moyenne-

variance)

Exercice # 14: Fonction d'utilité et degré d'aversion

On considère les fonctions d’utilité suivantes avec W, la richesse.

a. 푈(푊)=−

1

푊

b. 푈(푊)=푙푛(푊)

c. 푈(푊)=−푊−훾

d. 푈(푊)=−푒−훾∗푊

e. 푈(푊)=

푊훾

훾

f. 푈(푊)=훼푊−훽푊

2

1. Vérifier si ces fonctions d’utilité représentent bien le comportement d’un investisseur averse

au risque (푈′> 0 ,푈′′< 0 ) ou établir des restrictions sur les paramètres pour que ces

 ( )= + ( )− ( )= + ( )− ( )+  ( ) −  ( ) 

2 2 2 2 2 2

0 1

2 2

0 1 ER

2

a

E R

2

a

ER

2

a

ER a aER

2

a

EUR a aER

 ( )  ( ) ( )  ( )  ( )

2 2 2

1

2 2

0 ER ER

2

a

ER aER

2

a

EUR =a + + − −

 ( )

2 2

0 ER

2

a

a=a +

 ( )= + − 

2 2

1

2

a

EUR a a   ( )

2 2

1

2

a

EU R −a=a− 

b=EU(R) −a

− =b

2

a

a

2 2

1  

2

1

2

1 2 a

a

a

b

= + 

a 1

b

c=

2

1

2

a

a

=c+ 

= 











1

2

a

a

2

0 0

2

0

1

2

W kW

kW

a

a

−

=

kW 0

2

0 

−    0 

2

0

2

W 0 kW 0 0 kW W

W 0

1

k

W 0

1

k