Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

4. 
   

Selon le coefficient d’aversion absolue au risque la fonction d'utilité f à aversion au risque est

croissante. Les fonctions a, b, c et e sont décroissantes. La fonction d est constante.

Selon le coefficient d’aversion relative par rapport au risque les fonctions d'utilité d et f à

aversion au risque sont croissantes. Les fonctions a, b, c et e sont constantes.

Exercice # 15: Fonction d'utilité, prix d'achat et prix de vente

On considère un individu, avec une fonction d’utilité 푈 décrivant un comportement d’aversion

au risque et, une richesse initiale, 푊, confronté à un investissement dans un actif qui offre un

revenu de G avec une probabilité 휋 et un revenu B avec une probabilité 1 −휋. La fonction

d’utilité de l'individu est: 푈(푊)=푊^12

⁄

1. Si l’individu détient une position longue sur l’actif, on note le prix minimum auquel il serait

disposé à vendre cet actif par 푃푠, écrire l’expression que 푃푠 doit satisfaire.

2. S’il ne possède pas l’actif, écrire l’expression que 푃푏 (le prix maximum qu’il serait disposé

à payer pour l’avoir) doit satisfaire.

3. On donne 휋=

1

2

,푊= 10 ,퐺= 26 ,퐵= 6. Trouver les prix de vente et d’achat. Sont-ils

égaux? Qu’en est-il du cas où l’individu était neutre au risque?

Solution:

1. 
   

Selon la fonction d'utilité de l'investisseur on a:

De plus l'espérance de l'utilité est définie comme suit:

L'égalité ente donne:

D'où:

2. 
   

L'espérance de l'utilité est dans cas:

Ps =W 1 −W 0

( )

0 , 5

UW 1 =W 1

EU(W 0 +x) =U(W 0 +G)+( 1 −)U(W 0 +B)

U(W 1 ) =EU(W 0 +x) W = U(W 0 +G)+( 1 − )U(W 0 +B)

0 , 5

1  

 ( ) ( ) ( )

2

W 1 =UW 0 +G + 1 − UW 0 +B

=  ( + )+( − ) ( + ) − 0 

2

Ps  UW 0 G 1  UW 0 B W

 ( ) ( ) ( )  0

0 , 52

0

0 , 5

Ps =W 0 +G + 1 − W +B −W

EU(W 0 +x−Pb) =U(W 0 +G−Pb)+( 1 −)U(W 0 +B−Pb)