Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

Selon la fonction d'utilité de l'investisseur on a:

L'égalité ente donne:

3. 
   

L'espérance de gain est égale:

La richesse espérée est égale:

On a:

On donc:

On a:

Si l'individu était neutre au risque alors on a:

Exercice # 16: Fonction d'utilité et richesse

On considère un investisseur avec une fonction d’utilité concave dans le plan richesse utilité,

qui choisit de diversifier son portefeuille entre un actif sans risque et un actif risqué. Le premier

actif, avec un prix 푝 1 présente un revenu certain 푧 1 alors que le deuxième actif a un prix 푝 2 et

un revenu 푧̃ 2 assimilé à une variable aléatoire. L’investisseur est supposé avoir une richesse

( )

0 , 5

UW 0 =W 0

U(W 1 ) =EU(W 0 +x−Pb)

=  ( 0 + − b)+( − ) ( 0 + − b)

0 , 5

W 0  UW G P 1  UW B P

=  ( + − )+( − ) ( + − ) 

2

W 0  UW 0 G Pb 1  UW 0 B Pb

 ( ) ( ) ( ) 

0 , 52

0 b

0 , 5

W 0 =W 0 +G−Pb + 1 − W +B−P

( )=  +  

2

1

6

2

1

EX 26 E(X)= 16

W=W 0 +E(X)W= 10 + 16 = 26

U(W 1 )=EU(W 0 +x)

EU(W 0 +x) =U(W 0 +G)+( 1 −)U(W 0 +B)

U(W 1 ) =U(W 0 +G)+( 1 −)U(W 0 +B)

= U( 10 + 26 )+( 1 −)U( 10 + 6 )

2

1

W

0,5

1 =  +  

0,5 0 , 5 0 , 5

1 16

2

1

36

2

1

W W = 5 

0,5

1 W 1 =^25

Ps = 25 − 10 = 15

=  ( 0 + − b)+( − ) ( 0 + − b)

0 , 5

W 0  UW G P 1  UW B P

=  ( − b)+  ( − b)

0 , 5

U 16 P

2

1

U 36 P

2

1

10  =( − ) +( − ) 

0 , 5

b

0 , 5

b

0 , 5

2 10 36 P 16 P

(  ) =( − ) +( − )  

2 2

0 , 5

b

0 , 5

b

0 , 5

2 10 36 P 16 P =( − ) +( − )  

2

0 , 5

b

0 , 5

40 36 Pb 16 P

40 =( 36 −Pb)+( 16 −Pb)+ 2  36 −Pb 16 −Pb

− 12 =− 2 Pb+ 2  36 −Pb 16 −Pb− 6 =−Pb+ 36 −Pb 16 −Pb

( − ) =( − b)( − b)

2

Pb 6 36 P 16 P 40 Pb= 540 Pb= 13 , 5

Ps=Pb=E(X)= 16