initiale 푊 0 et ne s’intéresse qu’à la prochaine période. En supposant qu’il détient 휔 1 unité dans
l’actif sans risque et 휔 2 unités dans l’actif risqué ;
- Ecrire l’espérance de sa fonction d’utilité en termes de 푊 0 ,휔 1 ,휔 2 ,푧̃ 2 ,푧 1. Ecrire sa
contrainte budgétaire. Trouver l’équation (CPO) que la demande optimale pour l’actifrisqué doit satisfaire.- On suppose que sa fonction d’utilité est de la forme : 푈(푊)=푎−푏푒−퐴∗푊 , avec 푎,푏> 0.
Montrer que la demande pour l’actif risqué est indépendante de la richesse initiale.Expliquer pourquoi.Solution:
L'espérance de la fonction d'utilité peut s'écrire comme suit:
On remplace , on obtient:
; On constate qu'il est impossible de résoudretelle qu'elle. On doit simplifier en développant l'expression.au voisinage de ; , on se trouve au voisinage de
ou encore , On peut alors écrire:; pour prochede 1 alors:
( )
+ =+ +1sc. de 0z~
Max EUW 1 z1 2i0 11 2 2
1 = 1 - 2 ( (z z ) z) ~U=Max E UW 01 + 2 2 − 1 + 1
( ) ( (z z)) ~
z z U W 1 z~
E
zU
2 1 0 1 2 2 1
2= − + + −
z 2U
0 ( 1 2 (z 2 z 1 ))~UW 1 +z + −
U 0 ( 1 2 (z 2 z 1 ))~UEW 1 +z + −
EW 0 ( 1 +z 1 )+ 2 (~z 2 −z 1 ) W 0 ( 1 +z 1 )+ 2 (z~ 2 −z 1 )
( ) ( ( ( ) )) + − − ( )( − ) ( + + ( ( )− ))= − + + − +z z U W 1 z Ez z 0~
z z E z~
W zE z~ z U W 1 z Ez z0 1 2 2 1 2 2 2 1 0 1 2 2 12 1 0 1 2 2 1
( ) ( ( )) + − − ( )( − ) ( + + ( ( )− ))= − + + − +W z ~z z E z z~ z U W 1 z Ez z 0E z~ z U W 1 z z~ z0 1 2 2 1 2 2 2 1 0 1 2 2 12 1 0 1 2 2 1
( ( ( ) )) ( ( ) ) ( ( ))( )Ez (~z z ) z (E(z ) z ) 01 z z~ zW 1 z ~z z
U W 1 z Ez z Ez z1 2 2 1 1 2 2 11 2 2 11 2 2 1
0 1 2 2 1 2 1+ − − + − =
+ + −+ + −
+ + − − −
( ) ( ( ))( )0
z z~
1 zW 1 z ~z z
Ez z 22
2
1 2 2 11 2 2 1(^21) =
- −
- −
− −
1 +z 1 + 2 (E(z 2 )−z 1 )
( ( ( ) ))( )= ( )=
+ + −+ + −
RRA AAR
1 2 2 1(^1221) W W
1 z ~z z
W 1 z E z z
( )
2
22 1
2Ez z
−
=