Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

On a:

Exercice # 18: CAPM et relation de prix

A partir du CAPM, modèle à une période, on cherche à exprimer la relation liant les prix des

titres en début de période avec les prix des titres en fin de période. On rappelle que les prix de

début de période sont certains alors que les prix de fin de période sont considérés comme des

variables aléatoires.

1 - Soit un titre i, exprimer sa rentabilité 푅̃푖 en fonction de son prix en fin de période et de

son prix de début de période푃푖

0

. Faire de même avec la rentabilité du marché. On appellera 푉̃푀

1

la valeur du portefeuille de marché en fin de période et 푉푀

0

sa valeur en début de période.

2 - Quelle est la rentabilité du titre i dans le cadre du modèle d’équilibre CAPM?

3 - Utiliser les résultats des questions 1 et 2 pour démontrer la relation suivante :

푃푖

0

=

1

1 +푅푓

[퐸(푃̃푖

1

)−

[퐸(푉̃푀^1 )−푉푀

0

( 1 +푅푓)]

휎(푉̃푀

1

)

푐표푣(푃̃푖^1 ;푉̃푀^1 )

휎(푉̃푀

1

)

]

4 - Que vaut l’équivalent certain de? A quel taux est-il actualisé? Quel est le prix du risque

sur le marché?

5 - Application numérique : 퐸(푅푖)= 0 , 03 + 0 , 025 훽푖; 퐸(푃푖^1 )= 120 ; 훽푖= 0 , 9. Trouver푃푖^0

Solution:

1. 
   

;

2. 
   

3. 
   

;











=

popt pmin

popt pmin

 

 

~

Pi

1

~

Pi

1

0

i 0

0

i

i

P

P P

~

1

P

P

~

R

~ −

= − =

0

M 0

0

M

M

V

V V

~

1

V

V

~

R

~ −

= − =

( )  ( ) 

( )

( M)

i M

i f M f

VarR

CovR,R

ER = r +ER −r

( )  ( i) 0 

0 0

i 0

i EP P

P

1

P

P P

ER E = −















 −

= ( )  ( M) 0 

0 0

M 0

M EV V

V

1

V

V V

ER E = −















 −

=

( ) 















 − −

=

0

M 0

0

i 0

i M

V

V V

,

P

P P

CovR,R Cov ( ) (i M)

0 0

i M CovP,V

V

1

P

1

CovR,R = 

( ) 











 −

=

0

M 0

M

V

V V

VarR Var ( ) ( M)

2

0

M VarV

V

1

VarR =