Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

3 - Montrer que tout portefeuille efficient peut s’écrire comme une combinaison linéaire de deux

portefeuilles efficients d’espérances différentes (théorème de séparation à deux fonds).

4 - Application numérique :

Nous sommes dans un univers à trois titres. Deux portefeuilles efficients ont les compositions

suivantes :

풙ퟏ= [

0 , 4808

0 , 1538

0 , 3654

]et 풙ퟐ= [

− 0 , 2876

1 , 1903

0 , 0973

]

Les espérances de rentabilité sont respectivement E 1 = 0,0130 et E 2 = 0,0180.

Soit le vecteur des proportions d’un troisième portefeuille :

풙ퟑ= [

0 , 0198

0 , 7757

0 , 2045

] D'espérance E 3 = 0,0160.

Ce portefeuille est-il efficient?

Si le portefeuille 1 est le portefeuille de variance minimale (égale à 0,002856) et que le

portefeuille 2 a pour variance 0,007546, quelle est la variance des rentabilités du portefeuille 3?

Solution:

1. 
   

Le programme d'optimisation en écriture matricielle est:

On résout ce programme d’optimisation quadratique par la méthode de Lagrange. On écrit le

Lagrangien L:

Les conditions de premier ordre sont :

On combine les deux dernières équations, on obtient:

On pose: , ,















 =

 =

= 

1

sc. de

Min

*

p

2

p



 

 

L=+( −)+( 1 -  )

*

p

     ( )



= − − =  = +



 − 1

2

1

2 0

L

   



= −  =  = 



 *

p

*

p^0

L

 



=  =  = 





1 - 0 1

L

 

















=



















 

1 I

*

p

 ( + )

















=















 −

  

*p  1

2 I

1

1

































 

 

=

















− −

− −





  

   

I I I

I

2

1

1

1 1

* 1 1

p

 

1

A

 −

=   

1 1

B I I

−  −

=  = C I I

− 1

= 