Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

Exercice # 3: Frontière efficiente dans le plan μ-σ et portefeuille minimum variance

On considère deux titres 퐴 et 퐵 tel que :

L’espérance du rendement du titre 퐴 est 휇퐴, l’espérance du rendement du titre 퐵 est 휇퐵 avec

휇퐴<휇퐵, le risque du titre 퐴 est 퐴, le risque du titre 퐵 est 퐵 avec 퐴<퐵, la covariance

des rendements de 퐴 et 퐵 est 퐴퐵, le coefficient de corrélation entre les rendements de 퐴 et 퐵

est 퐴퐵.

1. Si on désigne par 휔푎 la proportion du portefeuille dans le titre A, exprimer l’espérance de

rendement du portefeuille 휇푃 et sa variance 푉푃=휎푃^2 en fonction de 휔푎, 휇퐴, 휇퐵, 퐴, 퐵 et



퐴퐵

.

2. Si, pour un 

퐴퐵

donné, on désigne par PF*(

퐴퐵

) le portefeuille de risque minimum et par

휔푎*(

퐴퐵

) sa proportion dans le titre A déterminer 휔푎*(

퐴퐵

) en fonction de 퐴, 퐵 et 

퐴퐵

.

3. A partir des relations trouvées dans la question 1, trouver la relation indépendante de 휔푎

entre 푉푃 et 휇푃. Mettre cette relation sous la forme de l’équation :

푉푃 = 푎∗(휇푃+ 푏)^2 + 푐où푎 et 푏sont fonction de 휇퐴, 휇퐵, 퐴, 퐵 et 

퐴퐵

et 푐 fonction de

퐴, 퐵 et 

퐴퐵

. Comment appelle-t-on la courbe relative à cette équation? Démontrer que

quel que soit 

퐴퐵

les titres 퐴(휇퐴,퐴) et 퐵 (휇퐵,퐵) appartiennent à cette courbe.

4. On désigne par 퐸푃∗(

퐴퐵

) l’espérance de rendement du portefeuille de variance minimum

PF

*

(퐴퐵) et par 푉푃

∗

(퐴퐵) la variance de son rendement et par 푃

∗

(퐴퐵) l’écart-type de son

rendement. Déduire de la question 3 l’expression de 휇푃

∗

(퐴퐵) en fonction de 휇퐴, 휇퐵, 퐴,

퐵 et 퐴퐵 et celle de 푉푃

∗

(퐴퐵) en fonction de 퐴, 퐵 et 퐴퐵.

5. Déduire de la question 4 pour quelles valeurs du coefficient de corrélation 퐴퐵 peut on avoir

un risque de portefeuille nul.

6. Pour chacune des valeurs de 

퐴퐵

trouvées dans la question 5 :

Déterminer 휔푎∗(

퐴퐵

) en fonction de 퐴 et 퐵. Déterminer 휇푃∗(

퐴퐵

) en fonction de 휇퐴, 휇퐵,

퐴, 퐵.Comparer 휔푎∗(

퐴퐵

) à 1. Que peut-on conclure?

7. Dans le cas où la vente à découvert est autorisée quelle condition sur 휇퐴, 휇퐵, 퐴, 퐵 doit on

avoir pour que 휔푎∗(

퐴퐵

) soit positif ou nul. Déterminer 휇푃en fonction de 푃.Représenter,

dans le plan 휇−, à une échelle à choisir, 휇푃 en fonction de 푃 pour 휇퐴=9%, 휇퐵=16%,

퐴=9% , 퐵=13%, 

퐴퐵

= 1

8. On désigne par  la valeur de 

퐴퐵

pour laquelle la variance Vp*(

퐴퐵

) atteint sa valeur

maximale (dérivée par rapport à 퐴퐵 égale à zéro) avec 휇퐴, 휇퐵, 퐴, 퐵 quelconques. On