Exercices Corriges en Gestion de portefefeuille

( )

A B AB

2

B

2

A

2

AB

2

B

2

• (^2) A
  p
  2
  1

    

  



+ −

−

= ;

A B AB

2

B

2

A

2

AB

2

B

2

A

2

B

2

• (^2) A
  p

  2   

    



+ −

−

=

La dérivée par rapport ABégale à zéro est:

( )

( )

( )

0

2

2

0

2

2 2 2 2

0

2

A B AB

2

B

2

A

A B

2

AB A B AB

2

AB B

2

A

2

B

2

A

2

A B AB

2

B

2

A

3

B

3

A

2

AB

3

B

3

AB A

4

B

2

AB A

2

B

4

A

AB

* 2

p

=

+ −

+ − −



=

+ −

+ − −

= 





    

          

    

          





( )

ax bx c 0

0

0 0

2

AB A B

2

B

2

A

2

A B AB

A B

2

AB A B AB

2

AB B

2

A

AB

* 2

p

 + + =

− + + − =

=  + − − =





       

        





=( − )  0 

2

 A B

A

B

AB 2

B

A

AB 1 et^











 = =

Or On a:









−  

A B

(^1) AB 1

 



Donc:

B

A





=

→

A B AB

2

B

2

A

A B AB

2

* B

A

  2   

   



+ −

−

=

Remplaçant AB par

B

A





= , on obtient:

( ) ( ) 

+ −

−

 =

+ −

−

=

2

A

2

B

2

A

2

A

2

* B

A

B

A

A B

2

B

2

A

B

A

A B

2

B

*

A

2  ^2 

 

 





   





  

  ( )

2

A

2

B

2

A

2

* B

A

 

 

 

−

−

=

( ) 1

*

A = et par conséquent ( ) 0

*

B =.

Donc, dans le cas où

B

A





= , la variance de portefeuille atteint sa valeur maximale et le

portefeuille est non diversifié et il est composé uniquement titre A

→

B

A

AB AB





  

On compare d'abord ( AB)

*

A et 1

A B AB

2

B

2

A

A B AB

2

* B

A

  2   

   



+ −

−

= ;

A B AB

2

B

2

A

2

* AB A B A

A

2

1

    

   



+ −

−

− =