Exercice 17
On considère une action ne rapportant pas de dividende avec un prix courant 20, une option
d’achat call et une option de vente put sur cette même action avec un prix d’exercice 19,2 et
une échéance dans un an divisé en trois périodes de quatre mois. Le taux sans risque est 12%
par an. Le prix de l’action après chaque période peut augmenter ou baisser au taux de 5%.
- Etablir le schéma d’évolution du prix de l’action
- Calculer la valeur de l’option call par la méthode de réplication
- Déduire les ratios de couverture
- Décrire les transactions permettant d’implémenter une stratégie de couverture court call.
- Calculer les probabilités risque neutre ainsi que les probabilités de chaque réalisation
complète possible. - Calculer la valeur de l’option call par la formule binomiale complémentaire. En déduire la
valeur du put.
Exercice 18
On considère une action avec un prix courant 300 qui suit un processus binomial multiplicatif
avec 푢= 1 , 6 et 푑= 0 , 8 et, des options call et put sur cette même action avec un même prix
d'exercice 330 et une même échéance de deux ans. Le taux annuel sans risque est 12%. On
demande d’implémenter des stratégies de couverture sur une période de deux ans et de
prouver par les calculs que les stratégies suivantes permettent d'assurer une couverture
parfaite lorsqu’elles sont utilisées en cohérence avec les anticipations des opérateurs.
- Calculer les valeurs du call et du put par réplication
- Stratégie de couverture avec une position longue sur un call
- Stratégie de couverture avec une position courte sur un call
- Stratégie de couverture avec une position longue sur un put
- Stratégie de couverture avec une position courte sur un put
Exercice 19
On considère trois options européennes avec la même maturité, sur le même actif sous-jacent
et avec des prix d’exercice différents 푋 1 , 푋 2 , 푋 3. On suppose que :
푋 1 <푋 2 <푋 3
Soit 휔 un nombre réel compris entre 0 et 1 et qui satisfait l’équation :
푋 2 =휔푋 1 +( 1 −휔)푋 3
Montrer que l’inégalité suivante doit être vérifiée pour que la condition d’absence d’opportunité
d’arbitrage soit satisfaite :
퐶(푋 2 )≤휔퐶(푋 1 )+( 1 −휔)퐶(푋 3 )
Avec 퐶(푋) est le prix d’une option avec un prix d’exercice 푋.