VII. Integrali di superfice

Nel caso in sui la superficie S è data dall’equazione x = x(y,z) proiettando sul piano YZ si

ottiene la formula:

∫∫푓(푥,푦,푧) 푑푆

푆

= ∫∫ 푓(푥(y,z),y,z) (^) √ 1 +(푥푦 ′ )^2 +(푥푧 ′ )^2 dy dz
퐷yz

2. Integrale di superficie di secondo tipo.

Problema.
Trovare il flusso dell’acqua che esce in un secondo dalla superficie S.
Soluzione:
Sia

퐹^ (푥,푦,푧)=퐹 1 (푥,푦,푧) 푖 +퐹 2 (푥,푦,푧) 푗 +퐹 3 (푥,푦,푧) 푘⃗^

il vettore della velocità in un punto (x, y, z) dell’acqua che esce dalla superficie S.
Sia

풏⃗⃗ =cos훼 푖 + cos훽 푗 + cos훾 푘⃗^

il vettore unitario della perpendicolare sulla superficie S nel punto (x,y,z). Gli angoli α, β, γ sono
angoli che la perpendicolare forma rispettivamente con gli assi x, y z.

Nella figura i vettori 푑푒푙푙푎 푣푒푙표푐푖푡à 퐹^ (푥,푦,푧) e della perpendicolare 풏⃗⃗ formano un angolo 휑
acuto, quindi loro prodotto scalare è un numero positivo:

퐹푛=퐹∙cos휑= 퐹^ ∙푛⃗⃗⃗ =퐹 1 ∙cos훼+퐹 2 ∙cos훽+퐹 3 ∙cos훾

In questo caso il vettore 푭⃗⃗⃗⃗풏^ ha i verso della perpendicolare 풏⃗⃗ , nel caso opposto questi due
vettori sono con i versi opposti.

S

n

F Fn

ds

φ