Sia Po un punto qualsiasi sulla superficie S. Sia no la retta perpendicolare sulla S con il piede nel
punto Po. In questa retta scegliamo come positivo uno dei due possibili versi. Prendo una qualsiasi
curva chiusa L liscia sulla superficie S che passa per il punto Po. Partendo dalla posizione del punto
Po , faccio muovere un punto P insieme con la rispettiva perpendicolare orientata n lungo la curva L
fino a che si ritorna nella posizione iniziale Po. Per il verso della perpendicolare no nel ritorno al
punto Po possiamo avere due possibilità:
1) Il verso coincide con il verso iniziale.
2) Il verso è opposto del verso iniziale.Nel primo caso la superficie si dice superficie con due facce , nel secondo si dice superficie con una
faccia.
Un esempio di una superficie con due facce è il piano, mentre con una faccia è il fioco di Moebius.
Una superficie con due facce si dice orientata se la retta perpendicolare su di essa è orientata. In
questo caso una delle facce si dice positiva l’altra negativa.
Sulla superficie S disegno una linea chiusa orientata.
La faccia si dice positiva se dalla perpendicolare si vede questa linea orientate nel verso
antiorario.
La faccia si dice negative se dalla perpendicolare si vede questa linea orientate nel verso orario.
Se la superficie S è data con l’equazione z = z (x, y), allora come positivo si prende di solito la faccia
da dove esce il vettore della perpendicolare 푁⃗⃗^ =(−푧푥′,−푧푦′, 1 ). Siccome il prodotto scalare di
questo vettore con il versore 푘⃗^ =( 0 , 0 , 1 ) dell’asse z, è un numero positivo, vuol dire che essi
formano un angolo acuto.
Sia S una superficie liscia con due facce in cui abbiamo scelto il verso positivo. Siano definiti nei
punti della S le tre funzioni con le derivate continue:
P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)Ponn