Sia dS un pezzo infinitesimale e siano i prodotti dy dz, dz dx, dx dy, le sue proiezioni sui piano
coordinativi rispettivamente yz, zx, xy.

Definizione:
Integrale di superficie di secondo tipo nella forma completa è l’integrale :

(^) ∫∫푆푃 푑푦 푑푧+푄 푑푧 푑푥+푅 푑푥 푑푦
Questo tipo di integrale si dice anche integrale di superficie secondo le coordinate.
Se cambiamo il verso di orientamento della perpendicolare allora questo integrale di superficie di
secondo tipo cambia segno.

Calcolo dell’integrale di superficie di secondo tipo

Il calcolo dell’integrale di superficie secondo tipo dipende dalla forma come è data la superficie S.

1° Caso: la superficie S è data con il sistema delle equazioni parametriche:

nella forma vettoriale:

푆^ =푥(푢,푣)∙푖 + 푦(푢,푣)∙푗 + 푧(푢,푣)∙푗

ovvero

con uv Suv

z zuv

y y uv

x xuv













=

=

=

( , )

( , )

( , )

( , )

le proiezioni sui piani coordinativi della area infinitesimale dS sono:

{

푑푦 푑푧=퐽푦푧 푑푢 푑푣

푑푧 푑푥=퐽푧푥 푑푢 푑푣

푑푥 푑푦=퐽푥푦 푑푢 푑푣

la formula del calcolo si ottiene sostituendo x, y, z con dell’espressioni date:

∫∫푆푃푑푦푑푧+푄푑푧푑푥+푅푑푥푑푦 =±∫∫푆푢푣[푃⋅퐽푦푧+푄⋅퐽푧푥+푅⋅퐽푥푦] ⋅푑푢⋅푑푣 ( 1 )

Suv è l’immagine della zona S nello spazio (uv), mentre i jacobiani si trovano con i determinanti :

퐽푌푍=|

푦푢 푦푣

푧푢 푧푣|^ 퐽푍푋=|

푧푢 푧푣

푥푢 푥푣|^ 퐽푋푌=|

푥푢 푥푣

푦푢 푦푣|

Il segno + si prende se S e SUV hanno lo stesso orientamento, mentre il segno – nel caso opposto.

La formula (1) possiamo scrivere anche: